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व्याख्याता गणित 2019 (Lecturer Maths 2019) - Questions 1 to 30
प्रश्न 1 / Question 1
Universal set / सार्वत्रिक समुच्चय, $U = \{x \mid x^5 - 6x^4 + 11x^3 - 6x^2 = 0\}$,
$A = \{x \mid x^2 - 5x + 6 = 0\}$,
$B = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$
What is $(A \cap B)'$ equal to? / $(A \cap B)'$ के बराबर क्या होगा?
$A = \{x \mid x^2 - 5x + 6 = 0\}$,
$B = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$
What is $(A \cap B)'$ equal to? / $(A \cap B)'$ के बराबर क्या होगा?
सही उत्तर: (B) $\{0, 1, 3\}$
प्रश्न 2 / Question 2
Let $\lambda, \alpha$ are real. / मान लो कि $\lambda$ और $\alpha$ वास्तविक हैं।
$\lambda x + \sin\alpha \cdot y + \cos\alpha \cdot z = 0$,
$x + \cos\alpha \cdot y + \sin\alpha \cdot z = 0$,
$-x + \sin\alpha \cdot y - \cos\alpha \cdot z = 0$
has a non-trivial solution. If $\lambda = 1$, then all the values of $\alpha$ are: / एक अतुच्छ हल रखता है। यदि $\lambda = 1$, तब $\alpha$ के सभी मान होंगे:
$\lambda x + \sin\alpha \cdot y + \cos\alpha \cdot z = 0$,
$x + \cos\alpha \cdot y + \sin\alpha \cdot z = 0$,
$-x + \sin\alpha \cdot y - \cos\alpha \cdot z = 0$
has a non-trivial solution. If $\lambda = 1$, then all the values of $\alpha$ are: / एक अतुच्छ हल रखता है। यदि $\lambda = 1$, तब $\alpha$ के सभी मान होंगे:
सही उत्तर: (B) $n\pi \pm \frac{\pi}{2}$
प्रश्न 3 / Question 3
Let $\alpha, \beta$ be the roots of $x^2 - x + p = 0$ and $\gamma, \delta$ be the roots of $x^2 - 4x + q = 0$. If $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ are in G.P. then the integral values of $p$ and $q$ respectively, are: / मान लो कि समीकरण $x^2 - x + p = 0$ के मूल $\alpha, \beta$ एवं $x^2 - 4x + q = 0$ के मूल $\gamma, \delta$ हैं। यदि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ गुणोत्तर अनुक्रम (G.P.) में हों, तो $p$ व $q$ के पूर्णांक मान क्रमशः होंगे:
सही उत्तर: (A) $-2, -32$
प्रश्न 4 / Question 4
Let $w \neq 1$ be a cube root of unity and $S$ be the set of all non-singular matrices of the form $\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ w & 1 & c \\ w^2 & w & a \end{bmatrix}$, where each $a, b$ and $c$ is either $w$ or $w^2$. Then the number of distinct matrices in the set $S$ is: / मान लो कि $w \neq 1$ इकाई का एक घनमूल है और $S$, $\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ w & 1 & c \\ w^2 & w & a \end{bmatrix}$ प्रकार के व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का समुच्चय है, जहाँ प्रत्येक $a, b$ और $c$ या तो $w$ या $w^2$ है। तब $S$ में भिन्न आव्यूहों की संख्या होगी:
सही उत्तर: (D) 2
प्रश्न 5 / Question 5
Let $R$ be a relation in the set of integers defined by $a R b$ if and only if $a$ and $b$ both are neither even nor odd. Then $R$ is: / मान लो कि एक सम्बन्ध $R$, पूर्णांकों के समुच्चय में इस प्रकार परिभाषित है, $a R b$ यदि और केवल यदि $a$ और $b$ दोनों न तो सम हैं और न विषम। तब $R$ है:
सही उत्तर: (C) Symmetric but neither reflexive nor transitive / सममित परन्तु न तो स्वतुल्य और न संक्रमक
प्रश्न 6 / Question 6
If $(p \wedge \sim r) \Rightarrow (q \vee r)$ is False and $q$ and $r$ both false, then $p$ is: / यदि $(p \wedge \sim r) \Rightarrow (q \vee r)$ असत्य है और $q$ व $r$ दोनों असत्य हैं, तब $p$ है:
सही उत्तर: (A) True / सत्य
प्रश्न 7 / Question 7
If $\left[\frac{2x}{15} + \frac{y}{5}\right] = 1$, where $[x]$ is the greatest integer function, then: / यदि $\left[\frac{2x}{15} + \frac{y}{5}\right] = 1$, जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है, तब:
सही उत्तर: (D) $15 \le 2x + 3y < 30$
प्रश्न 8 / Question 8
A batsman can score 0, 2, 3 or 4 runs for each ball he receives. If $N$ is the number of ways of scoring a total of 20 runs in one over of six balls, then $N$ is divisible by: / एक बल्लेबाज प्रत्येक गेंद पर 0, 2, 3 या 4 रन बना सकता है। यदि 6 गेंदों के एक ओवर में कुल 20 रन बनाने के $N$ तरीके हों, तो निम्न में से कौन $N$ को विभाज्य करेगा?
सही उत्तर: (C) 7
प्रश्न 9 / Question 9
For any natural $n$, the number $4^n + 15n - 1$ is a multiple of: / किसी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिये संख्या $4^n + 15n - 1$ एक गुणक होगा:
सही उत्तर: (C) 9
प्रश्न 10 / Question 10
Let $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ and $10B = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$. If $B$ is the inverse of matrix $A$, then $\alpha$ is: / मान लो कि $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $10B = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$। यदि $B$, आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम हो तब $\alpha$ का मान होगा:
सही उत्तर: (D) 5
प्रश्न 11 / Question 11
Different binary operations on a set: / एक समुच्चय पर विभिन्न द्विआधारी संक्रियाएँ:
सही उत्तर: (D) Option (A) and (C) are correct. / विकल्प (A) और (C) सही हैं।
प्रश्न 12 / Question 12
Find the range of: $y = \frac{e^x}{[x] + 1}, x \ge 0$. Where $[\cdot]$ is the greatest integer function. / $y = \frac{e^x}{[x] + 1}, x \ge 0$ का परास (range) ज्ञात कीजिये, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।
सही उत्तर: (B) $[1, \infty)$
प्रश्न 13 / Question 13
The number of proper divisors of 1800 which are also divisible by 10, is: / 1800 के ऐसे पूर्ण भाजकों (proper divisors) की संख्या जो 10 से भी भाज्य हों, की संख्या होगी:
सही उत्तर: (A) 18
प्रश्न 14 / Question 14
If the system of equation $ax + y + z = 0$, $x + by + z = 0$ and $x + y + cz = 0$ ($a, b, c \neq 1$) has a non trivial solution, then the value of $\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c}$ is: / यदि समीकरणों का निकाय $ax + y + z = 0$, $x + by + z = 0$ और $x + y + cz = 0$ ($a, b, c \neq 1$) एक अतुच्छ हल रखता है, तब $\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c}$ का मान है:
सही उत्तर: (B) 1
प्रश्न 15 / Question 15
If $z^2 + z + 1 = 0$, where $z$ is complex number, then the value of $(z + \frac{1}{z})^2 + (z^2 + \frac{1}{z^2})^2 + \dots + (z^6 + \frac{1}{z^6})^2$ is: / यदि $z^2 + z + 1 = 0$, जहाँ $z$ एक सम्मिश्र संख्या है, तब निम्नलिखित का मान होगा:
$(z + \frac{1}{z})^2 + (z^2 + \frac{1}{z^2})^2 + \dots + (z^6 + \frac{1}{z^6})^2$
$(z + \frac{1}{z})^2 + (z^2 + \frac{1}{z^2})^2 + \dots + (z^6 + \frac{1}{z^6})^2$
सही उत्तर: (D) 12
प्रश्न 16 / Question 16
If $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ and $\vec{d}$ are unit vectors such that $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 1$ and $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$, then: / यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$ इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 1$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$, तब:
सही उत्तर: (B) $\vec{b}, \vec{d}$ are non parallel / $\vec{b}, \vec{d}$ समान्तर नहीं हैं
प्रश्न 17 / Question 17
Let $R$ be the real line. Consider the following subsets of the Plane $R \times R$:
$S = \{(x, y) \mid y = x + 1 \text{ and } 0 < x < 2\}$
$T = \{(x, y) \mid x - y \text{ is an integer}\}$
Which one of the following is true? / माना कि $R$ वास्तविक रेखा है। $R \times R$ समतल पर निम्नलिखित समुच्चय लेते हैं:
$S = \{(x, y) \mid y = x + 1 \text{ तथा } 0 < x < 2\}$
$T = \{(x, y) \mid x - y \text{ एक पूर्णांक है}\}$
निम्न में से कौन सत्य है?
$S = \{(x, y) \mid y = x + 1 \text{ and } 0 < x < 2\}$
$T = \{(x, y) \mid x - y \text{ is an integer}\}$
Which one of the following is true? / माना कि $R$ वास्तविक रेखा है। $R \times R$ समतल पर निम्नलिखित समुच्चय लेते हैं:
$S = \{(x, y) \mid y = x + 1 \text{ तथा } 0 < x < 2\}$
$T = \{(x, y) \mid x - y \text{ एक पूर्णांक है}\}$
निम्न में से कौन सत्य है?
सही उत्तर: (D) $T$ is an equivalence relation on $R$ but $S$ is not / $R$ पर, $T$ एकतुल्यता सम्बन्ध है पर $S$ नहीं
प्रश्न 18 / Question 18
For non-zero vectors $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$ holds iff: / अशून्य सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के लिये $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$ सत्य है यदि और केवल यदि:
सही उत्तर: (D) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$
प्रश्न 19 / Question 19
If $p^{\text{th}}, q^{\text{th}}, r^{\text{th}}$ terms of a G.P. are the positive numbers $a, b, c$, then the angle between the vectors $\log a^2 \hat{i} + \log b^2 \hat{j} + \log c^2 \hat{k}$ and $(q-r)\hat{i} + (r-p)\hat{j} + (p-q)\hat{k}$ is: / यदि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का $p$वाँ, $q$वाँ, $r$वाँ पद धन संख्या $a, b, c$ हो, तो सदिशों $\log a^2 \hat{i} + \log b^2 \hat{j} + \log c^2 \hat{k}$ तथा $(q-r)\hat{i} + (r-p)\hat{j} + (p-q)\hat{k}$ के मध्य कोण का मान होगा:
सही उत्तर: (C) $\frac{\pi}{2}$
प्रश्न 20 / Question 20
Let $\alpha_n = (2 + \sqrt{3})^n$. Find $\lim_{n \to \infty} (\alpha_n - [\alpha_n])$, ($[\cdot]$ denotes greatest integer function). / मान लो कि $\alpha_n = (2 + \sqrt{3})^n$। $\lim_{n \to \infty} (\alpha_n - [\alpha_n])$ ज्ञात कीजिये (जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)।
सही उत्तर: (D) 0
प्रश्न 21 / Question 21
If in a triangle $ABC$, the sides are such that $b, a, c$ are in A.P., then $\frac{\tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2}}{\cot\frac{A}{2}}$ is: / यदि त्रिभुज $ABC$ की तीनों कोर $b, a, c$ A.P. श्रेणी में हैं तो $\frac{\tan\frac{B}{2} + \tan\frac{C}{2}}{\cot\frac{A}{2}}$ का मान होगा:
सही उत्तर: (C) 2:3
प्रश्न 22 / Question 22
If the sides of the triangle are $p, q, \sqrt{p^2 + q^2 + pq}$, then the greatest angle is: / यदि त्रिभुज के कोर $p, q, \sqrt{p^2 + q^2 + pq}$ हों, तब अधिकतम कोण होगा:
सही उत्तर: (C) $\frac{2\pi}{3}$
प्रश्न 23 / Question 23
The value of $\sin\frac{\pi}{16} \sin\frac{3\pi}{16} \sin\frac{5\pi}{16} \sin\frac{7\pi}{16}$ is: / $\sin\frac{\pi}{16} \sin\frac{3\pi}{16} \sin\frac{5\pi}{16} \sin\frac{7\pi}{16}$ का मान होगा:
सही उत्तर: (B) $\frac{\sqrt{2}}{16}$
प्रश्न 24 / Question 24
The number of solutions of the equation $\tan^2 x - \sec^{10} x + 1 = 0$ in $(0, 10)$ is: / समीकरण $\tan^2 x - \sec^{10} x + 1 = 0$ के $(0, 10)$ में हलों की संख्या होगी:
सही उत्तर: (A) 3
प्रश्न 25 / Question 25
The number of values of $x$, where $f(x) = \cos x + \cos\sqrt{2}x$ attains its maximum value is: / $x$ के हलों की संख्या होगी, जहाँ $f(x) = \cos x + \cos\sqrt{2}x$ उच्चत्तम मान रखता है:
सही उत्तर: (A) 1
प्रश्न 26 / Question 26
If $2\sin x + 1 \ge 0$ and $x \in [0, 2\pi]$ then the solution set for $x$ is: / यदि $2\sin x + 1 \ge 0$ तथा $x \in [0, 2\pi]$ तब $x$ का समुच्चय हल होगा:
सही उत्तर: (B) $\left[0, \frac{7\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{11\pi}{6}, 2\pi\right]$
प्रश्न 27 / Question 27
If $\cos(\alpha+\beta) \sin(\gamma+\delta) = \cos(\alpha-\beta) \sin(\gamma-\delta)$, then the value of $\cot\alpha \cot\beta \cot\gamma$ is: / यदि $\cos(\alpha+\beta) \sin(\gamma+\delta) = \cos(\alpha-\beta) \sin(\gamma-\delta)$, तब $\cot\alpha \cot\beta \cot\gamma$ का मान होगा:
सही उत्तर: (D) $\cot\delta$
प्रश्न 28 / Question 28
If $\sin\alpha + \sin\beta = l$; $\cos\alpha + \cos\beta = m$; $\tan(\frac{\alpha}{2})\tan(\frac{\beta}{2}) = n$ then: / यदि $\sin\alpha + \sin\beta = l$; $\cos\alpha + \cos\beta = m$; $\tan(\frac{\alpha}{2})\tan(\frac{\beta}{2}) = n$ तब:
सही उत्तर: (C) $(l^2 + m^2)(1 + n) = 2m(1 - n)$
प्रश्न 29 / Question 29
A tower subtends angles $\alpha, 2\alpha, 3\alpha$ respectively at points $A, B, C$ all lying on a horizontal line through the foot of the tower. Then $\frac{AB}{BC}$ is equal to: / एक टावर के शिखर का उन्नयन कोण, इसके पाद से जाने वाले क्षैतिज समतल पर एक सरल रेखा में स्थित तीन बिन्दुओं $A, B, C$ से क्रमशः $\alpha, 2\alpha, 3\alpha$ हैं, तो $\frac{AB}{BC}$ का मान होगा:
सही उत्तर: (B) $1 + 2\cos 2\alpha$
प्रश्न 30 / Question 30
The period of $\frac{a \sin x + b \cos x}{c \sin 5x + d \cos 5x}$ is: / $\frac{a \sin x + b \cos x}{c \sin 5x + d \cos 5x}$ का आवर्त (period) होगा:
सही उत्तर: (C) $2\pi$
